線形代数例

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 2.2

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$a$ を移動させます。

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 2.2.2

$a$ に $a$ をかけます。

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 3.2

$a$ に $a$ をかけます。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$a$ に $a$ をかけます。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

ステップ 4.2.2

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$b$ を移動させます。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

ステップ 4.2.2.2

$b$ に $b$ をかけます。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.2

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$a$ を移動させます。

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.2.2

$a$ に $a$ をかけます。

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.4

指数を足して $a$ に $a^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$a^{2}$ を移動させます。

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.4.2

$a^{2}$ に $a$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

$a$ を $1$ 乗します。

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.5

分配則を当てはめます。

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.6

指数を足して $a$ に $a^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$a^{2}$ を移動させます。

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.6.2

$a^{2}$ に $a$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1

$a$ を $1$ 乗します。

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.7

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$a$ を移動させます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.7.2

$a$ に $a$ をかけます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.8.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.8.3

$a^{2}$ に $1$ をかけます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.1.9

分配則を当てはめます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

ステップ 5.1.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

ステップ 5.1.11

指数を足して $b$ に $b^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.11.1

$b^{2}$ を移動させます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

ステップ 5.1.11.2

$b^{2}$ に $b$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.11.2.1

$b$ を $1$ 乗します。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

ステップ 5.1.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

ステップ 5.1.11.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

ステップ 5.2

$a^{2} b$ と $a^{2} b$ をたし算します。

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

ステップ 5.3

$- a^{3}$ から $a^{3}$ を引きます。

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

ステップ 5.4

$2 a^{2} b$ と $b a^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$b$ と $a^{2}$ を並べ替えます。

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

ステップ 5.4.2

$2 a^{2} b$ と $a^{2} b$ をたし算します。

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$

線形代数 例

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